Moving genomsnittet notation

Forskaren och ingenjörsguiden till digital signalbehandling av Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 8: Diskret Fourier Transform Notation och Format för Real DFT Som visas i Fig 8-3 ändrar den diskreta Fourier-transformen en N-punktsignal till tvåpunkts utgångssignaler. Ingångssignalen innehåller signalen sönderdelning, medan de två utsignalerna innehåller amplituderna av komponent sinus och cosinusvågor (skalas på ett sätt som vi diskuterar inom kort). Ingångssignalen sägs vara i tidsdomänen. Detta beror på att den vanligaste typen av signal som kommer in i DFT är sammansatt av prover som tagits med jämna mellanrum. Naturligtvis kan någon form av samplad data matas in i DFT, oavsett hur den förvärvades. När du ser termen tidsdomän i Fourier-analys kan det faktiskt referera till prov som tagits över tiden, eller det kan vara en allmän referens till någon diskret signal som sönderdelas. Termen frekvensdomän används för att beskriva amplituderna av sinus - och cosinusvågorna (inklusive den speciella skalan vi lovade att förklara). Frekvensdomänen innehåller exakt samma information som tidsdomänen, bara i en annan form. Om du känner till en domän kan du beräkna den andra. Med tanke på tidsdomänsignalen kallas processen för att beräkna frekvensdomänen sönderdelning. analys, framåt DFT eller helt enkelt DFT. Om du känner till frekvensdomänen kallas beräkning av tidsdomänen syntes. eller den inverse DFT. Både syntes och analys kan representeras i ekvationsform och datoralgoritmer. Antalet prover i tidsdomänen representeras vanligtvis av variabeln N. Medan N kan vara vilket positivt heltal som helst, är en kraft av två vanligtvis vald, dvs 128, 256, 512, 1024, etc. Det finns två skäl till detta. För det första använder digital datalagring binär adressering, vilket gör två befogenheter en naturlig signallängd. För det andra arbetar den mest effektiva algoritmen för beräkning av DFT, Fast Fourier Transform (FFT), vanligen med N som är en kraft av två. Typiskt väljes N mellan 32 och 4096. I de flesta fall går proverna från O till N-1, snarare än 1 till N. Standard DSP-notering använder små bokstäver för att representera tidsdomänsignaler, t. ex. x, y och z. De motsvarande stor bokstäverna används för att representera deras frekvensdomäner, det vill säga X, Y och Z. För att anta att en N-punkts tidsdomänsignal finns i x n. Frekvensdomänen för denna signal kallas X, och består av två delar, var och en en grupp av N2l-prover. Dessa kallas den verkliga delen av X. skrivet som: ReX. och den imaginära delen av X. skrivet som: ImX. Värdena i ReX är amplituderna av cosinovågorna, medan värdena i ImX är amplituderna av sinusvågorna (inte oroande för skalningsfaktorerna för tillfället). Precis som tidsdomänen går från x n till x N -1, går frekvensdomänsignalerna från ReX 0 till ReX N 2 och från ImX 0 till ImX N 2. Studera dessa noteringar noggrant, de är kritiska för att förstå ekvationerna i DSP. Tyvärr skiljer sig inte några datorspråk mellan små och stora bokstäver, vilket gör att variabelnamnen är upp till den enskilda programmeraren. Programmen i den här boken använder array XX för att hålla tidsdomänen, och arrayerna REX och IMX håller frekvensdomänsignalerna. Namnen äkta del och imaginär del härstammar från den komplexa DFT, där de används för att skilja mellan reella och imaginära siffror. Ingenting så komplicerat krävs för den riktiga DFT. Innan du kommer till kapitel 29, tycker du bara att den verkliga delen betyder cosinusvågamplituderna, medan imaginär del betyder sinusvågamplituderna. Låt inte dessa förtrogna namn vilseleda dig allt här använder vanliga nummer. Liknas inte av längden på frekvensdomänen. Det är vanligt i DSP-litteraturen att se uttalanden som: DFT ändrar en N-punkts tidsdomänsignal till en N-punkts frekvensdomänsignal. Detta hänvisar till den komplexa DFT. där varje punkt är ett komplext tal (bestående av reella och imaginära delar). För närvarande fokusera på att lära sig den verkliga DFT, kommer den svåra matematiken snart snart. Scientist och Engineers Guide till Digital Signal Processing av Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 8: Diskret Fourier Transform Såsom det hittills har beskrivits är frekvensdomänen en grupp av amplitud av cosinus och sinusvågor (med små skaleringsmodifieringar). Detta kallas rektangulär notation. Alternativt kan frekvensdomänen uttryckas i polär form. I denna notation ersätts ReX ImX med två andra arrays, kallade magnituden av X. skrivet i ekvationer som: Mag X, och Phasen av X. skrivet som: Fas X. Storleken och fasen är ett par-för-par ersättning för de reella och imaginära delarna. Exempelvis beräknas Mag X 0 och Fas X 0 med användning av endast ReX 0 och ImX 0. På samma sätt beräknas Mag X 14 och Fas X 14 med endast ReX 14 och ImX 14 och så vidare. För att förstå omvandlingen, överväg vad som händer när du lägger till en cosinovåg och en sinusvåg av samma frekvens. Resultatet är en cosinovåg av samma frekvens, men med en ny amplitud och en fasskiftning. I ekvationsform är de två representationerna relaterade: Den viktiga punkten är att ingen information förloras i denna process med en representation du kan beräkna den andra. Med andra ord är informationen i amplituderna A och B. finns också i variablerna M och 952. Även om denna ekvation involverar sinus - och cosinovågor följer den samma omvandlingsekvationer som enkla vektorer. Figur 8-9 visar analog vektorrepresentation av hur de två variablerna, A och B. kan ses i ett rektangulärt koordinatsystem, medan M och 952 är parametrar i polära koordinater. I polär notation rymmer Mag X amplituden för cosinovågan (M i ekv. 8-4 och fig 8-9), medan fas X håller fasvinkeln för cosinovågan (952 i ekv. 8-4 och fig 8-9). Följande ekvationer konverterar frekvensdomänen från rektangulär till polär notation, och vice versa: Rektangulär och polär notation låter dig tänka på DFT på två olika sätt. Med rektangulär notering sönderdelar DFT en N-punktsignal i N 2 1-cosinovågor och N 2 1 sinusvågor, var och en med en specificerad amplitud. I polär notering sönderdelar DFT en N-punktsignal i N 2 1-cosinovågor, var och en med en angiven amplitud (kallad magnitud) och fasförskjutning. Varför använder polär notation cosinovågor i stället för sinusvågor Sinvågor kan inte representera DC-komponenten i en signal, eftersom en sinusvåg av nollfrekvens består av alla nollor (se fig 8-5 aampb). Även om de polära och rektangulära representationerna innehåller exakt samma information finns det många fall där man är lättare att använda den andra. Exempelvis visar fig 8-10 en frekvensdomänsignal i både rektangulär och polär form. Varning: Försök inte förstå formen av de verkliga och imaginära delarna som huvudet kommer att explodera. Jämfört är polarkurvorna raka: endast frekvenser under ca 0,25 är närvarande och fasskiftet är ungefär proportionellt mot frekvensen. Detta är frekvensresponsen hos ett lågpassfilter. När ska du använda rektangulär notation och när ska du använda polär Rektangulär notering är vanligtvis det bästa valet för beräkningar, som i ekvationer och datorprogram. I jämförelse är grafer nästan alltid i polär form. Som framgår av föregående exempel är det nästan omöjligt för människor att förstå egenskaperna hos en frekvensdomänsignal genom att titta på de verkliga och imaginära delarna. I ett typiskt program hålls frekvensdomänsignalerna i rektangulär notation tills en observatör behöver titta på dem, vid vilken tidpunkt en rektangulär-till-polär omvandling görs. Varför är det lättare att förstå frekvensdomänen i polär notation Denna fråga går till hjärtat av varför nedbrytning av en signal i sinusoider är användbar. Minns egenskapen av sinusformad trohet från kapitel 5: Om en sinusoid går in i ett linjärt system, kommer utsignalen också att vara sinusformad och vid exakt samma frekvens som ingången. Endast amplituden och fasen kan förändras. Polär notation representerar direkt signaler i form av amplituden och fasen hos komponentkosininvågorna. I sin tur kan system representeras av hur de ändrar amplituden och fasen hos var och en av dessa cosinovågor. Tänk nu vad som händer om rektangulär notering används med detta scenario. En blandning av cosinus och sinusvågor går in i det linjära systemet, vilket resulterar i en blandning av cosinus och sinusvågor som lämnar systemet. Problemet är att en cosinovåg på ingången kan resultera i både cosinus och sinusvågor på utgången. På samma sätt kan en sinusvåg på ingången resultera i både cosinus och sinusvågor på utgången. Medan dessa korsvillkor kan rätas ut, överensstämmer den övergripande metoden inte med varför vi ville använda sinusoider i första hand. Användningsgrad för förändring Funktionsinstruktör: Dr. Jo Steig DEFINITION: En funktion är en process med vilken varje ingång är associerad med exakt en utgång. När du skapar en process (eller en rad steg) för att göra en viss uppgift skapar vi ofta en funktion. Om vi ​​vill använda det om och om igen för att göra våra liv enklare ger vi det ett namn. Det hjälper oss att komma ihåg namnet när det har något att göra med processen som beskrivs. Funktionen Genomsnittlig förändringshastighet beskriver den genomsnittliga hastighet vid vilken en kvanitet ändras med hänsyn till något annat som ändras. Du är redan bekant med några genomsnittliga förändringsberäkningar: (a) Miles per gallon - beräknad genom att dividera antalet miles med antalet gallon som används (b) Kostnad per killowatt - beräknad genom att dela kostnaden för elen med numret av killowattts som används (c) Miles per timme - beräknad genom att dividera antalet kilometer som reste med det antal timmar som krävs för att resa dem. I allmänhet är en medelhastighet en förändringsfunktion en process som beräknar hur mycket förändring i ett objekt dividerat med motsvarande mängd förändring i en annan. Med hjälp av funktionsnotation kan vi definiera genomsnittsfrekvensen för en funktion f från a till x eftersom A är namnet på denna genomsnittliga förändringsfunktion x - a representerar förändringen i inmatningen av funktionen ff (x) - f (a) representerar förändringen i funktionen f som inmatningen ändras från a till x Du kanske har märkt att funktionen Medelhastighetsförändring ser mycket ut som formeln för lutningens lutning. Faktum är att om du tar några två separata punkter på en kurva, (x 1, y 1) och (x 2, y 2), är lutningen av linjen som förbinder punkterna den genomsnittliga förändringshastigheten från x 1 till x 2 Exempel 1: Sök linjens lutning genom kurvan när x ändras från 3 till 0. Steg 1: f (3) -1 och f (0) -4 Steg 2: Använd lutningsformeln för att skapa förhållandet Steg 3: Förenkla. Steg 4: Så linjens lutning går genom kurvan när x ändras från 3 till 0 är 1. Exempel 2: Hitta den genomsnittliga förändringshastigheten från 3 till 0. Eftersom den genomsnittliga förändringshastigheten för en funktion är lutningen av den tillhörande linjen har vi redan gjort arbetet i det sista problemet. Det vill säga, medeltalet för förändring från 3 till 0 är 1. Det är över intervallet 0,3 för varje 1-enhetens förändring i x, det finns en 1-enhetsförändring i funktionens värde. Här är ett diagram över funktionen, de två punkterna som används och linjen som förbinder dessa två punkter. Antag nu att du behövde hitta serier av lutningar av linjer som går genom kurvan och punkten (3, f (3)) men den andra punkten fortsätter att röra sig. Vi kommer att ringa den andra punkten (x, f (x)). Det kommer vara till nytta att ha en process (funktion) som kommer att göra just det för oss. Den genomsnittliga förändringsfunktionen avgör också lutningen så att processen är vad vi ska använda. Exempel 3: Hitta den genomsnittliga förändringsfunktionen från 3 till x. Steg 2: Använd den genomsnittliga förändringsformeln för att definiera A (x) och förenkla. Steg 3: Medelfrekvensfunktionen för förändring från 3 till x är Exempel 4: Använd resultatet från Exempel 3 för att hitta den genomsnittliga förändringshastigheten från 3 till 6. Lösning: Medelvärdesfunktionen för förändring från 3 till x Så är medeltalet för förändring från 3 till 6 A (6) 93 3. Exempel 5: Använd resultatet från exempel 3 för att hitta genomsnittshastigheten för förändring från 3 till 0. Den genomsnittliga förändringshastigheten från 3 till 0 är A (0) 33 1. kopia 2009 Jo Steig